Перейти к содержанию

Главное меню:

Территория электротехнической информации WEBSOR

Найти

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Основы > Теоретические основы электротехники

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд

Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжений и токов разложить в тригонометрические ряды Эйлера - Фурье.
Как известно, всякая периодическая функция
, удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд:



Первый член ряда
называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член - основной синусоидой или 1-й гармоникой, а все остальные члены вида при k>1 носят название высших гармоник; - основная частота (угловая); Т - период несинусоидальной периодической функции.
Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих, или, короче, гармоник, записывается и в иной форме:



Здесь
.
Коэффициенты
могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:



Постоянная составляющая равна среднему значению функции за ее период .
Зная коэффициенты ряда (12.2), легко перейти к форме (12.1), подсчитывая



Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию по
k от до , можно ряду (12.2) придать более компактный вид (где, по существу, каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):



Постоянная составляющая в этом выражении получается при
k=0, что соответствует выражению (12.3), так как .
Выражению (12.2а) можно придать несколько иной вид, если воспользоваться формулами Эйлера для тригонометрических функций времени:



и вместо (12.2а) получим



где согласно (12.3)



Учитывая, что
а и что сумма двух комплексно-сопряженных величин равна их удвоенной действительной части, выражение (12.26) можно упростить. Оно принимает вид



Комплексная форма ряда Фурье [(12.2в) и (12.3а)] имеет большое значение при переходе от дискретного спектра к непрерывному.

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис. 12.4, а), удовлетворяет условию



Функции, удовлетворяющие этому условию, называются
симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:



В схемах выпрямления переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис. 12.4, 6)



Такие функции называются симметричными относительно оси ординат.
В этом случае ряд не содержит синусов:



В схемах умножения частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию (рис. 12.4, в)



Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей:


Рис. 12.4

Примеры разложения в ряд некоторых простейших из наиболее часто встречающихся в электротехнике кривых приведены в приложении 3.
Если начало отсчета времени сдвигается, то соответственно изменяется вид ряда, в котором амплитуды гармоник остаются прежними, но изменяются их начальные фазы. Например, если перейти от функции
, выражаемой рядом (12.1), к , т. е. сместить начало отсчета времени на , то получим ряд



где



Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее
дискретным частотным спектром.
Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью
(спектр амплитуд) и (спектр фаз) от частоты .


Пример 12.1. Построить спектр для несинусоидальной функции в виде ряда прямоугольных импульсов продолжительностью с высотой , следующих один за другим через интервалы времени (рис. 12.5, а). Напряжения такой формы встречаются в различных схемах телеграфии, телемеханики и автоматики.
Решение. Найдя коэффициенты разложения по формулам (12.3) или выписав их из таблицы (приложение 3), представим рассматриваемую функцию в виде ряда



где .
Дискретный спектр амплитуд этих импульсов представлен на рис. 12.5, б. Там же показан спектр фаз, изображенный в виде непрерывной функции. Эта функция реально существует только в тех точках, где .

Рис. 12.5

Пример 12.2. Построить спектр той же функции, что в примере 12.1, при начале отсчета времени, сдвинутом на (рис. 12.6, а).
Решение. Эта функция симметрична относительно оси ординат, и ее разложение в тригонометрический ряд имеет вид:



Спектры амплитуд и фаз этой функции показаны на рис. 12.6, б. Естественно, что спектр амплитуд остался прежним.
Рассматривая каждую гармонику как сумму членов ряда для
и переходя от записи (12.2) к (12.2а), можно этому выражению придать следующий вид:



Действительно, при
k=0



т. е. получаем постоянную составляющую; при четных значениях
k члены ряда обращаются в нуль, а при k нечетных и при суммировании членов для положительных и отрицательных к дают амплитуду, равную .

Рис. 12.6

Спектр амплитуд в этом случае имеет симметричный вид (рис. 12.6, в).
Такое рассмотрение гармонические составляющих как совокупности колебаний положительных и отрицательных часто во многих случаях позволяет получить более простое общее выражение. Отрицательная частота, конечно, не имеет физического смысла, и составляющие ряда при k<0 являются не чем иным, как удобным математическим выражением гармоник, имеющих положительную частоту, соответствующую модулю k.

Пример 12.3. Построить спектр последовательности прямоугольных импульсов продолжительностью с периодом повторения Т, причем и может принимать любое значение в интервале .
Решение. Выпишем из таблицы приложения 3 разложение этой функции в тригонометрический ряд:



где

Раскладывая каждую из гармоник на сумму двух синусоид, соответствующих положительным и отрицательным значениям
k [см. (12.2а)], придадим выражению иную форму:



где постоянная составляющая получается при раскрытии неопределенности:



Обозначив
, получим для следующее выражение:



На рис. 12.7, а -в видно, что вне зависимости от периода повторения импульсов Т спектр имеет (с точностью до множителя
a) одну и ту же зависимость амплитуд от частоты (огибающую). Чем больше период повторения импульсов, тем большее число гармонических составляющих укладывается на одном и том же участке огибающей и тем медленнее уменьшаются амплитуды гармонических составляющих с увеличением номера гармоники. Кроме того, чем больше период Т, тем меньше амплитуды гармонических составляющих.
Для исследования непериодических процессов большое значение имеет предельный переход при
.

Рис. 12.7

Пример 12.4. Найти спектр последовательности очень коротких импульсов, длительность которых значительно меньше периода их повторения Т. Изучение последовательности таких импульсов очень важно в различных задачах электротехники, в частности при рассмотрении импульсных и релейных систем автоматики.
Решение. Частотный спектр такой последовательности импульсов получается из выражения (12.12), приведенного в предыдущем примере, при :



Таким образом, спектр периодической последовательности кратковременных импульсов приближенно может быть выражен бесконечным множеством равных по амплитуде гармоник с частотами, кратными основной частоте импульсов
. Амплитуда гармоник в раз меньше, чем высота импульсов. Это соответствует среднему участку спектра, представленного на рис. 12.7, при стремлении периода огибающей, которая изображена на этом рисунке штриховой линией, к бесконечности (при ), если, конечно, по оси абсцисс откладывать не , а просто k или .


Основы | Электромашины | Оборудование | Нормы | Подстанция | Электроснабжение | Освещение | Воздушная линия | Карта сайта


Назад к содержанию | Назад к главному меню