Перейти к содержанию

Главное меню:

Территория электротехнической информации WEBSOR

Найти

Применение матриц и сигнальных графов к расчету соединений четырехполюсников

Основы > Теоретические основы электротехники

Применение матриц и сигнальных графов к расчету соединений четырехполюсников

При каскадном соединении пассивных и неавтономных активных четырехполюсников без соблюдения принципа согласования, при параллельном, последовательном и других видах соединений параметры соединения или эквивалентного четырехполюсника проще рассчитываются при матричной форме записи уравнений или с применением сигнальных графов.
Для расчета параметров четырехполюсника, эквивалентного каскадному соединению двух четырехполюсников (рис. 13.11), следует пользоваться системой уравнений типа А (8.1).

Будем считать известными матрицы коэффициентов первого и второго четырехполюсников. Согласно (8.16) уравнения в матричной форме каждого четырехполюсника



Из рис. 13.11 ясно, что
. Поэтому в первой системе уравнений (13.27) можно заменить равными им величинами из второй системы, т. е. записать



Запишем еще уравнения в матричной форме для эквивалентного четырехполюсника



причем, очевидно, что
. Сравнение систем уравнений (13.28) и (13.29) показывает,



откуда по правилу умножения матриц (строка на столбец) получаем



В случае каскадного соединения не-скольких, т. е. цепочки, четырехполюсников нужно, применяя это правило, последовательно заменять эквивалентными соседние пары заданных четырехполюсников. Перемножаемые матрицы, которые называют цепочечными, должны быть записаны в том же порядке, в котором соединены четырехполюсники.

Рассмотрим параллельное соединение двух четырехполюсников (рис. 13.12); в этом случае и для расчета параметров эквивалентного четырехполюсника проще воспользоваться системой уравнений типа Y. Действительно, в матричной форме для заданных четырехполюсников аналогично (8.2)



и для эквивалентного четырехполюсника



Сложив левые и правые части уравнений (13.32), получим



где учтено равенство напряжений.
Из сопоставления (13.33) и (13.34) следует, что матрица проводимостей эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц проводимостей параллельно соединенных четырехполюсников:



При последовательном соединении двух четырехполюсников (рис. 13.13) для расчета параметров эквивалентного четырехполюсника проще всего применить уравнения типа Z. Для заданных четырехполюсников согласно (8.3)



а для эквивалентного



Так как
то




Аналогично можно показать, что при последовательном соединении первичных выводов (как на рис. 13.13) и параллельном соединении вторичных (как на рис. 13.12) суммируются матрицы , т. е. для эквивалентного четырехполюсника . При параллельном соединении первичных (как на рис. 13.12) и последовательном соединении вторичных выводов (как на рис. 13.13) суммируются матрицы , т. е. для эквивалентного четырехполюсника .
Применение матриц возможно при каскадном соединении любых пассивных и неавтономных активных четырехполюсников. Для всех остальных типов соединений должно выполняться так называемое
условие регулярности. Это значит, что после соединения четырехполюсников через оба первичных (1 и 1') и оба вторичных (2 и 2') вывода каждого четырехполюсника должны протекать соответственно равные по значению и обратные по направлению токи. Например, у верхнего из четырехполюсников на рис. 13.13 через оба первичных вывода должен проходить ток , через вторичные - ток , у нижнего - токи , что и показано на рисунке.
Всегда регулярны параллельные соединения уравновешенных четырехполюсников, "подобных" четырехполюсников (схемы одинаковы, значения параметров соответственно пропорциональны), четырехполюсников, у которых выводы 1
' и 2' соединены накоротко (например, Т- и П-образные неуравновешенные). Всегда регулярно последовательное соединение четырехполюсников, у которых соответственно выводы 1' и 2' первого и 1 и 2 второго соединены накоротко (например, неуравновешенных Т- или П-образного и перевернутого Т- и П-образного).
Матричная форма записи уравнений применяется и для определения параметров четырехполюсников со сложной структурой, если можно такой четырехполюсник представить в виде сочетания двух или нескольких простых.

Для каждой системы уравнений четырехполюсника можно составить сигнальный граф. Например, для уравнений типа А (8.1) и типа Н (8.4) получаем графы, показанные на рис. 13.14, а и б. При расчете коэффициентов четырехполюсника, эквивалентного регулярному соединению двух четырехполюсников, можно объединить их графы по правилу: сток напряжения и (или) тока одного объединяется соответственно с истоком напряжения и (или) тока другого для образования связи, которая получается при соединении четырехполюсников.
Рассмотрим в качестве примера каскадное соединение двух четырехполюсников (см. рис. 13.11), заданных уравнениями типа А (8.1) или уравнениями типа Н (8.4). В первом случае объединяем истоки первого четырехполюсника
со стоками второго , так как по рис. 13.11 . Граф соединения изображен на рис. 13.15. Коэффициенты эквивалентного четырехполюсника можно найти либо преобразованием графа, либо по формуле Мэзона.
В первом случае надо устранить узлы
, сохранив все пути между истоками и стоками . Граф на рис. 13.15 не имеет контуров, и его называют каскадным. На рис. 13.16 показан граф после устранения узлов и объединения параллельных ветвей. По графу на рис. 13.16 сразу могут быть записаны коэффициенты (13.31).
По формуле Мэзона (13.26) любой из коэффициентов записывается сразу, так как контуров нет и
, т. е. передаточная функция равна . Например, коэффициент (между истоком и стоком на рис. 13.15 два сквозных пути с передачами ).
Во втором случае (уравнения типа Н) объединяются те же истоки и стоки (рис. 13.17). Коэффициенты матрицы
эквивалентного четырехполюсника, как и в первом случае, проще рассчитываются по формуле Мэзона. Граф имеет один контур с передачей , т. е. .
Вычислим, например, коэффициент
. Между истоком и стоком два сквозных пути: первый с передачей и с определителем (контур не касается первого пути) и второй с передачей и (нет несоприкасающихся контуров). Итак,



Определение коэффициентов матрицы
эквивалентного четырехполюсника при заданных матрицах двух каскадно соединенных четырехполюсников без применения графов требует довольно длинного совместного решения двух систем уравнений типа Н (для первого и второго четырехполюсников).
Объединение графов предъявляет определенные требования к форме графа каждого четырехполюсника, так как объединяются сток и исток.



Назад к содержанию | Назад к главному меню