Перейти к содержанию

Главное меню:

Территория электротехнической информации WEBSOR

Найти

Применение сигнальных графов для расчета передаточных функций

Основы > Теоретические основы электротехники

Применение сигнальных графов для расчета передаточных функций

Прежде чем получить общую формулу для определения передаточных функций линейной электрической цепи произвольной конфигурации при помощи графов, рассмотрим несколько достаточно общих примеров.
На рис. 13.8 изображен четырех-контурный граф, часть узлов которого для упрощения рисунка обозначена цифрами, с контурными передачами
, истоком и стоком . Требуется определить передаточную функцию - передачу графа между узлами .
Для узлов 1, 2, 3, 4, 5, 6 справедливы уравнения:
.

Искомую передачу графа определим, постепенно исключив остальные неизвестные, начиная с , из системы уравнений.
Иначе говоря,



откуда



Затем из уравнения



определим



и т. д. В результате получим связь между
в виде



откуда



Искомая передаточная функция



Числитель этого выражения равен произведению передачи прямого пути
на определитель , который получается вычитанием из единицы передачи всех контуров, не касающихся пути с передачей П', и суммированием произведения контурных передач не касающихся друг друга контуров и пути с передачей П'. Знаменатель в этом случае равен определителю графа на рис. 13.8, который получается вычитанием из еди-ницы всех передач контуров графа и суммированием с полученной разностью попарных произведений передач всех не соприкасающихся друг с другом контуров.
В качестве второго примера рассмотрим граф, показанный на рис. 13.9, для которого нужно найти передаточную функцию между узлами
.

Запишем уравнения для узлов 2, 3, 4, 5 и 6: . Исключив из этих уравнений неизвестные сигналы в узлах графа, начиная от его конца, получим



Поскольку
, то



Наконец,



или окончательно



Числитель полученного выражения (13.16) равен произведению передачи прямого пути от истока
к стоку на определитель D', т. е. на D'. Поскольку путь с передачей П' проходит через все узлы схемы, то определитель числителя получается равным единице (D'=1). Знаменатель выражения (13.16) определяется аналогично знаменателю (13.15) и получается вычитанием передач всех трех контуров из единицы и суммированием с полученным выражением произведения передач двух несоприкасающихся контуров .
При определении передачи от истока к любому узлу графа можно, не применяя преобразований, непосредственно пользоваться общим решением уравнений, определяющих режим цепи. Однако прежде чем дать общее решение этой задачи, рассмотрим еще граф в виде полного треугольника (рис. 13.10, а). Можно показать, что такой граф получается для электрической схемы, имеющей форму полного пятиугольника, у которого потенциал одного из четырех независимых узловых уравнений исключен.

Для этого графа справедливы уравнения



или



где
.

Определить любой из узловых сигналов, например , считая его стоком (штриховая линия на рис. 13.10), можно, записав решение системы уравнений (13.17) при помощи определителей



где главный определитель системы уравнений



Определитель (13.19) можно представить состоящим из отдельных групп слагаемых



где, как нетрудно проверить,



- сумма передач всех (восьми на рис. 13.10) контуров графа;



- сумма произведения передач попарно не соприкасающихся друг с другом контуров графа (не имеющих общих точек);



- сумма произведении передач троек не соприкасающихся контуров графа (у графа на рис. 13.10 одна тройка).
Как следует из (13.21), сумма произведений передач четного числа контуров входит в определитель со знаком плюс, а нечетного - со знаком минус.
Определитель



где
- передачи прямых путей от истока к стоку (рис. 13.10, б); - определитель части графа, не касающейся пути с передачей ; , поскольку путь с передачей проходит через все узлы графа.
Обобщив результаты приведенных примеров, получим, что в общем случае передаточная функция (передача графа) между заданным истоком и выбранным стоком определяется по формуле Мезона (записана при расчете комплексным методом)



где суммирование выполняется для всех прямых путей.
Если схема цепи содержит несколько источников ЭДС и тока, т. е. у графа несколько истоков, то для определения какой-либо неизвестной величины, которую следует представить в виде стока, необходимо применить метод наложения.

Пример 13.1. Пользуясь графом (см. рис. 13.4, б), определить ток в сопротивлении схемы, показанной на рис. 13.4, а.
Решение:
Так как в схеме два источника (ЭДС
и тока ), то для определения тока найдем потенциал , пользуясь методом наложения.
Потенциал
, создаваемый ЭДС , определяется по (13.26) и

где передачи контуров графа
. В числитель полученного выражения входит передача контура, не касающегося пути с передачей .
Потенциал
, создаваемый источником тока , находится по той же формуле (13.26) и

где передача пути
.
Потенциал
, создаваемый обоими источниками, равен:



Искомый ток
(положительное направление от узла 3).
В заключение полезно подчеркнуть, что, пользуясь графами и формулой (13.26), можно во многих случаях сразу определять искомые величины, не решая совместно систему топологических уравнений цепи, как и показано в примере 13.1. При некотором навыке можно составить граф непосредственно по схеме цепи без записи системы уравнений.





Назад к содержанию | Назад к главному меню